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一题多变话平行线的性质
方丽芳
辅助线是连接题目中已知条件和所求结论的一座桥梁,有了这座桥梁我们就可以顺利地解决问题. 那么,如何添加适当的辅助线应用平行线的性质解题呢？下面结合一道典型例题和大家一起探讨.
例题：如图1所示,已知AB∥CD,求证：∠B＋∠D＝∠BED.
思路点拨：本题的已知条件中虽然有平行线,但因为不存在“第三条直线”,所以无法直接应用平行线的性质求证. 因此,可过点E 作EF∥AB,从而与已知条件联系起来.
证明：如图2所示,过点E 作EF∥AB,则∠BEF＝∠B.
因为AB∥CD,所以EF∥CD,所以∠D＝∠DEF.
因为∠DEF＋∠BEF＝∠BED,所以∠B＋∠D＝∠BED.
变式1：如图3所示,已知AB∥CD,试说明：∠B＋∠E＋∠D＝360°.
解：如图4所示,过点E 作EF∥AB.
因为AB∥CD,所以EF∥CD,所以∠1＋∠B＝180°,∠2＋∠D＝180°.
则∠1＋∠B＋∠2＋∠D＝360°,即∠B＋∠E＋∠D＝360°.
变式2：如图5所示,已知AB∥CD,分别探索下列4个图形中∠P 与∠A,∠C 的关系,并从所得的4个关系中任选一个加以证明.
解：∠P 与∠A,∠C 的关系分别为：
①∠P＝360°－∠A－∠C,②∠P＝∠A＋∠C,
③∠P＝∠C－∠A,④∠P＝∠A－∠C.
现选图5③证明如下：
如图6所示,设AB,PC 交于点E,过P 作PF∥AB.
因为AB∥CD,所以PF∥AB∥CD.
所以∠CPF＋∠C＝180°,∠APF＋∠A＝180°.
又∠APF＝∠APE＋∠CPF,所以180°－∠A＝∠APE＋180°－∠C.
所以∠APE＝∠C－∠A.
变式3：如图7①所示,CE∥AB,所以∠1＝∠A,∠2＝∠B,所以∠ACD＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B,这是一个有用的结论. 请用这个结论,在图7②所示的四边形ABCD 内引一条和边平行的直线,求∠A＋∠B＋∠C＋∠D 的度数.
解：如图8所示,过点D 作DE∥AB 交BC 于点E,
所以∠A＋∠2＝180°,∠B＋∠3＝180°.
因为∠3＝∠1＋∠C,所以∠A＋∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝360°.
即∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＝360°.
变式4：（1）如图9①所示,AB ∥CD,BED 是折线,试写出∠B＋ ∠D＝∠BED 的推理过程.
（2）如图9②所示,若AB ∥CD,BEFG 是折线,那么∠B ＋ ∠F 与∠E ＋∠FGD 有什么关系？为什么？
（3）观察联想：观察（1）（2）问的结论,猜想平行线AB,CD 与折线BEFG…所成的角之间有什么关系？
解：（1）过点E 作MN∥AB,则∠B＝∠BEN.
因为AB∥CD,所以MN∥CD.
所以∠NED＝∠D,则∠B＋∠D＝∠NED＋∠BEN＝∠BED.
（2）过点E 作MN∥AB,过点F 作PQ∥AB.
因为AB∥CD,所以AB∥MN∥PQ∥CD.
所以∠B＝∠BEN,∠EFP＝∠FEN,∠PFG＝∠FGD.
则∠B＋∠EFP＋∠PFG＝∠BEN＋∠FEN＋∠FGD.
即∠B＋∠F＝∠E＋∠FGD.
（3）由（1）（2）问的结论可猜想,在两条平行线和折纸形成的角中,顶点在左边的所有角的和等于顶点在右边的所有角的和.
变式5：如图10 所示,已知点M,N 分别位于两条平行线段AB,CD 上,点E 位于两平行线之间,试问∠AME,∠CNE 和∠MEN 之间有何关系？
解：（1）当点E 在MN 左侧时,如图11① 所示,过E 作EF ∥AB,因为AB ∥CD,所以EF ∥CD,所以∠MEF＝∠AME,∠FEN＝∠CNE. 则∠MEF ＋∠FEN＝∠AME＋∠CNE,即∠AME＋∠CNE＝∠MEN.
（2）当点E 在MN 右侧时,如图11②所示,过E 作EF∥AB,则EF∥CD,所以∠AME ＋ ∠MEF＝180°,∠CNE ＋ ∠FEN＝180°,可得∠AME ＋ ∠CNE ＋∠MEN＝360°.
（3）当点E 在MN 上时,如图11③所示,由平行线的性质可得∠AME＋∠CNE＝180°.
因为∠MEN＝180°,所以∠AME＋∠CNE＝∠MEN.
总之,当题中已知条件难以发挥作用或相关角难以实现转化时,一般方法是通过作辅助线,以此作为桥梁,达到转化的目的.
性质论文范文结:
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