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小学高年段数学表达和交流能力的培养

王郢涂凡菲

（武汉大学教育科学研究院,湖北武汉 430072）

［摘要］数学核心素养和《数学课程标准》中都包含了对数学表达与交流能力培养的要求.从语言学角度来看,数学表达与交流能力包含了数学言语与数学语言、所指与能指两个方面的内涵.数学表达与交流能力对于发展数学思维、适应科技与时代的要求、服务个体与社会、感悟数学美学都发挥着极其重要的作用.为此,教师需要提高对培养表达与交流能力的意识,将数学表达融入生活,并且提高学生关于表达的元认知水平.

［关键词］表达与交流能力；数学语言；核心素养；小学

［中图分类号］G6235［文献标志码］A［文章编号］1002-1477（2017）11-0043-05

《义务教育数学课程标准（2011）》（以下简称《数学课程标准》）对学生的数学素养提出了六个方面的要求,即：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析,这些素养都离不开数学表达与交流能力.2016年的《中国学生发展核心素养》中,也包含着对表达与交流能力的要求.可见,数学表达与交流能力对于学生数学素养和核心能力发展至关重要,同时也是未来数学教育的重要着眼点.

一、“数学表达与交流能力”的含义探析

在《数学课程标准》中,数学表达与交流能力是指将数学作为解决实际问题和交流的重要工具,使用数字、符号、文字、字母或图标等数学语言清晰地、有条理地表达自己思考的过程、表达解决问题的过程,并且合乎逻辑地与他人进行讨论、质疑、交流与合作的能力［1］.

在语言学中,表达与交流活动由“言语”与“语言”组成［2］.言语是一种个人性活动,每个个体具有自己不同的表达方式与表达习惯.而语言是被社会成员所共有的、约定俗成的、具有一定规律的符号系统.社会中的人可以互相交流,是因为语言与言语具有一定程度的统一性.而语言又可分为“能指”与“所指”：“能指”意为语言文字的声音、形象、符号；“所指”则是语言的意义本身.例如,π就是一个以符号为表现形式的“能指”,它的实际含义是“圆的周长与直径的比值,此比值是一个常数,约为3.14”,即π的“所指”.数学语言能够用简洁的“能指”表达内涵丰富的“所指”.

将“语言”“言语”和“能指”“所指”这两对语言学概念运用于数学语言中,本文把数学表达与交流能力定义为：将规范科学的数学语言,灵活运用于个人言语,用最简明的能指,表达内涵更为丰富的所指的能力.其中,数学语言包含了数学符号、数学模型、数学图形语言,数学言语方式包括书面与口头方式,表达的对象包括内部的、自我的表达和外部的、对他人的表达（如图1所示）.

与《数学课程标准》的界定相比,从语言学出发的数学表达与交流能力概念界定,更明确了“书面语口头”“对外与对内”和“所指与能指”之间的联系与区别,这便使得教师在培养学生不同方面的交流与表达能力时,更能有针对性地使用不同的教学策略.

二、小学高年段数学表达与交流能力培养的必要性分析

小学高年段是一个承上启下的重要阶段,此时学生通过低年段的学习,已经有了一定的知识储备量,也是认知水平从具体运算阶段向形式运算阶段发展的重要过渡期.因此,将掌握的知识准确、完整、简洁地表达出来的相关训练必不可少.

1国内外教育发展的重要趋势

2016年颁布的《中国学生发展核心素养》提出了三大方面的核心素养,包括文化基础、自主发展、社会参与,综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养,其中无论是科学精神还是实践创新素养,都包含了对表达与交流能力的要求.

在《数学课程标准》中提出了10个数学核心概念,在此基础上归纳出来6个数学核心素养,即：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.素养包括人的道德品质、外表形象、知识水平与能力等各个方面.素养的内涵大于能力,在6个数学核心素养中,数学抽象、数学建模、直观想象和数据分析的素养都离不开对数学表达与交流能力的培养.

从国际视角上看,许多国家也将数学表达与交流能力的培养放在了突出位置.美国在1989年由全美数学教师协会颁布的《中小学数学课程和评价标准》和2000年颁布的《学校数学的原则和标准》中,“数学表达与交流能力”都作为四大能力目标之一被提出［3］；在日本,2008年发布的《关于幼儿园、小学、中学、高中以及特殊学校学习指导纲要的修订》中,也明确将“培养学生各学科表达与交流能力”作为基础教育的基本目标之一,特别是数学的表达与交流能力的培养［4］.

2小学生数学表达与交流能力的现实要求

有学者对小学生数学表达与交流能力进行了调查,发现我国小学生的数学表达与交流能力基本达标,但准确性和流畅性仍有不足.从数据上看,在正确性方面,77%的学生可以达到基本正确及以上的水平,但其中回答完全正确的学生仅占14%,可见,我国小学生表达准确性尚待提升；在完整性方面,我国小学生数学表达的完整性较好,64%的学生的回答是无残缺的,33%的学生存在少量残缺,仅3%的学生的回答有大量残缺；在规范性方面,完全符合数学语言表述规定的45.8%,基本符合的占54.2%,显示我国小学生单纯运用数学语言的能力较好,但将数学语言综合运用到自然语言中时,结果却稍有下降——完全符合的降为39.5%,而基本符合的为60.5%,没有出现“基本不符合”与“完全不符合”的情况；在明了性调查中,调查由表达顺畅性和无意义词句数量组成,其中,有66.7%的学生出现长时间（5 s以上）停顿,9.5%的学生出现多次（3次以上）的词句反复,仅15%的学生在阐述中附加无意义词句［5］.可见,小学生的数学表达具有较好的完整性和简洁性,但是,准确性和流畅性还有待提升.

3语言对思维影响的心理学依据

语言在一定程度上会影响人的思维方式［6］.语言学研究表明,语言表达方式不仅体现着思维方式,而且影响着思维的发展,高质量的语言表达能够促进学生认知能力的发展.

根据皮亚杰的认知发展理论,学生在十一二岁前后,认知发展水平开始从具体运算阶段逐步过渡到形式运算阶段.“具体运算”是指儿童能够凭借具体事物或从具体事物中获得的表象进行逻辑思维和群集运算的认知发展阶段.“形式运算阶段”指对抽象的假设或命题进行逻辑转化,这一阶段的儿童具备进行假设—演绎思维、抽象思维、系统思维的思维能力.然而,认知水平的发展不是“自然而然”、“水到渠成”的,认知的发展受到成熟程度、练习、经验及社会性经验和自我调节的平衡作用四个基本因素的重要影响.其中,经验包括数理经验,社会性经验包括人与人的相互作用.

小学高年段的学生正处于这一重要的认知发展的过渡阶段,在这个阶段,以符号、图形为特征的数学语言作为一种特殊的语言形式,突破了一般语言“一字一句”的“线性”表达方式,而具有多样化且丰富的含义：往往一个符号或一个表格就能够表达出多重意义,表现出极强的概括性和综合性特征.因此,运用数学语言的表达与交流活动,能够更好地促进儿童抽象逻辑性思维的发展,帮助儿童完成认知方式的飞跃和发展.

4社会进步、科技发展的必然要求

科学技术是推动现代生产力发展的重要力量,是现代生产力发展和经济增长的第一要素,也是促进精神文明建设的“催化剂”,是协调人与自然和谐关系的纽带.数学是科学之基础,数学中的符号方法、建模方法都是科学研究所必需的,培养数学表达能力也是科学发展之必然要求.

在信息时代的今天,知识更新速度和生活节奏都越来越快.为了使我们在生活中更加简明、高效地表达思想、交换信息,数学表达方法也应该更多被运用于生活之中,例如运用绘制时间轴的方法对时间进行管理、运用统计的方法进行财务管理、运用列表格的方法更加清晰地呈现信息与交换信息.这些都是数学表达服务于生活的例子.

可见,数学表达与交流能力的培养不仅仅有益于数学学习本身,更重要的是使数学思想通过数学语言与数学言语,更好地服务于个体的生活、社会的进步.

5感受数学美学的重要途径

伟大的数学家庞加莱（Poincaré）说：“一个优美的方法和理论就是各个部分之间的和谐、对称、恰到好处的平衡.一句话,那就是井然有序、统一协调”“能够做出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人”.数学美具有简洁性、统一（和谐）性、对称性、整齐性、奇异性和思辨性的特征.在这些特性中,前四者是数学美的外在形式,表现在数学理论、图形、公式和定理之中；而后二者是内在形式,表现在发现看起来无关事物间的深刻联系,发现不同事物在本质上的一致性［7］.数学美的外在形式需要依托数学语言与言语体现.可见,培养学生的数学表达与交流能力可以帮助学生发现和体会数学之美,提高数学学习兴趣,感受数学以及科学学习和研究的乐趣.

三、小学高年段学生数学表达与交流能力培养的对策建议

在教学中注重学生表达与交流能力的培养,首先要深化教师对表达与交流能力培养的认识,使教师在教学目标的设置上将“表达能力”提高到与“知识传授”及“思维训练”同等的地位；其次,要将数学表达与生活实际相融合,将数学表达方法灵活应用于生活实践；另外,要提高学生对数学表达的元认知水平.

1知识、思维与表达目标并驾齐驱

由于课时、班额等现实条件的约束,在数学综合实践活动的教学中,知识层面的目标落实得较好,但是思维目标和表达目标却不同程度地被忽视.实际上,综合实践活动设置更重要的意义在于帮助学生对数学产生更加深层次的理解,更好地将数学知识综合运用于生活之中.因此,数学综合实践活动应该更加注重方法而不是结果,多注重表达交流而不是题海操练.在教学中,教师应积极引导学生进行表达训练,促进学生数学语言的发展.

目前,许多五、六年级的数学教材中加入大量数学表达的内容,教师在教学时应重视落实数学表达目标.例如,在六年级“表面积的变化”的教学中,其知识目标和思维目标在于让学生通过将多个1 cm3的正方体拼成一个长方体,探究长方体的表面积与原来多个单独的正方体的表面积之和的关系,从而发现其中的规律,培养学生的观察与归纳思维能力（教学内容如图2所示）.

表格是数学语言的一种常见形式,这里的表格能够帮助学生观察并发现规律,具有工具性作用.在表格的帮助下,数字被分门别类地排列起来,便于学生发现拼接个数与拼接后减少的表面积之间的关系.表格作为一种数学语言,很好地体现了数学美的简洁性、整齐性和秩序性.教师在引导学生通过填写表格发现数学规律的同时,更应该带领学生通过表格这种数学语言形式体会数学之美.

用3个这样的正方体拼成一个长方体,表面积比原来减少几个正方形面的面积？用4个这样的正方体像下面这样拼呢？……先分别拼一拼,再把下表填写完整.

……

正方体的个数2345…

原来正方体一共有几个面12

拼成后减少了原来几个面的面积2

随后,课程内容在之前的教学活动的基础上加深了难度,将正方体简单地直线排列,变为长方体的多样排列（教学内容如图3所示）.

此时,为学生留下的任务是回答“三个大长方体的表面积分别比原来减少了多少”.从问题解决方面,学生通过观察课本给出的图片,能够轻松得到问题的答案.事实上,题干虽短,但包含的问题却不少.因此,如何简洁明了地表现思维的过程才是此时的教学重点.如果学生使用平时解答应用题的列算式的方法,想要清楚地表现思维的过程,至少需要列9个算式并且为每个算式附加文字说明.此时,教师可以引导学生“现学现用”,借用刚刚学习的列表格的方法,更加清晰且简明地表达思维的过程.

2数学语言与生活实际相互融合

数学表达依托于一般语言、符号和图形.数学语言和一般语言一样,能被运用于日常生活的方方面面.然而目前我国小学生将数学语言与一般语言相结合的能力较弱,将数学语言运用于生活实际的能力也有待提升,与我们在教学和生活中缺乏对数学表达与生活实际相结合的训练有关.在课堂教学中,强调数学语言在生活中的地位,对于激发学生的数学学习兴趣、促进学生对数学知识理解等都具有重要意义.

在数学语言与生活实际的结合中,数学符号作为数学语言的重要组成部分,是数学表达与交流的典型形式之一.“数学符号是进行空间形式和数量关系表示、计算、推理的工具,是人们对于客观事物运动规律的最直观、最简明的表达方式,是交流与传播数学思想的媒介.”［8］数学符号大致可以分为六类：元素符号、运算符号、关系符号、结合符号、约定符号和简练表达或缩记符号.数学教学中,在夯实基础的前提下,教师可以灵活使用数学特殊符号,将数学符号与生活相联系,丰富和深化学生对数学语言的认识与理解,从而在潜移默化中提高学生数学表达与交流的能力.例如在“数字与信息”中,就体现了数学符号紧密联系生活的例子（如图4所示）.

你还见过哪些数字编码表达信息的例子？用数字编码表达信息有什么好处？

教师除了引领学生发现生活中的数学语言,也可以在教学中更多地使用数学语言,使数学语言与一般语言更加巧妙地结合,在潜移默化中提高学生将此二者相结合的能力.数学表达与交流能力的培养不仅局限于综合实践活动的教学,也不仅局限于教材,在日常教学中,只要教师随时用心都能创造出许多培养学生数学表达与交流能力的机会.例如,在课堂教学中经常出现的小组竞赛的活动形式中,教师在分组时,可以使用“张三+李四等于第一组”的数学表达来代替日常语言；在呈现比赛结果时,可以使用“<”和“>”来公布小组名次顺序,等等.教师以身示范地使用数学语言进行表达,在潜移默化中,提高学生将数学语言与一般语言巧妙结合的能力.

此外,也可以鼓励学生将数学课上学习到的表达方法灵活运用到生活中.例如,在写日记时采用时间轴的形式记录每天发生过的事情,用表格的方法绘制自己的课程表,用统计直方图的方法记录自己身高体重的变化情况等等.

3提高数学表达的元认知水平

数学表达与交流能力的培养除了包括对表达机会、表达质量的要求,还应该包括提高表达的元认知水平.小学生表达的准确性尚待提升的一个重要原因在于,儿童缺乏对表达内容和效果的对比,缺乏自知和反思的习惯和能力,即对于表达的元认知水平较低.培养表达与交流能力不仅是让学生说得越多越好,更要培养学生“说得简明且准确”“善于倾听别人意见”“有效地交换信息”的能力、不断反思和自我监控的元认知策略.

在课堂发言时,教师应该有意识地培养学生“听”的行为,即在时间允许的情况下,请第二名学生补充或者纠正第一名学生回答中的不足或错误,然后请第三名学生用完整、简洁的语言说出“完美”的答案.在作业评价时,可以多采用在教师详细讲解与带领下的互评方法,促进学生在检查他人解题步骤是否详细规范的同时反思自身.在小组合作与讨论前,强调讨论的规则,一人发言时其他人应该安静地倾听与思考.

［参考文献］

［1］教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社,2012.

［2］索绪尔.普通语言学教程［M］.北京：商务印书馆,1980.

［3］王薇.数学交流表达能力目标：中美两国的比较及启示［J］.外国中小学教育,2016（11）：59-64.

［4］夏鹏翔,郝舒竹.日本小学数学教育改革新动向：培养“表达能力”［J］.比较教育研究,2011（9）：86-90.

［5］张倩.小学生数学言语表达能力的现状研究［D］.上海：上海师范大学,2014.

［6］威廉·冯·洪堡特.论人类语言结构的差异及其对人类精神发展的影响［M］.北京：商务印书馆,1999.

［7］徐本顺,殷启正.数学中的美学方法［M］.大连：大连理工大学出版社,2016.

［8］邵光华.作为教育任务的数学思想与方法［M］.上海：上海教育出版社,2009.

［责任编辑：陈学涛］

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